Matematikawan Membuktikan Simetri Transisi Fase


Kehadiran invarians konformal memiliki makna fisik langsung: Ini menunjukkan bahwa perilaku global sistem tidak akan berubah bahkan jika Anda mengubah detail mikroskopis zat tersebut. Ini juga mengisyaratkan keanggunan matematis tertentu yang muncul, untuk selingan singkat, seperti halnya seluruh sistem memecah bentuk keseluruhannya dan menjadi sesuatu yang lain.

Bukti Pertama

Pada tahun 2001 Smirnov menghasilkan bukti matematis ketat pertama dari invarian konformal dalam model fisik. Ini diterapkan pada model perkolasi, yaitu proses cairan melewati labirin dalam media berpori, seperti batu.

Smirnov melihat perkolasi pada kisi segitiga, di mana air diizinkan mengalir hanya melalui simpul yang “terbuka”. Awalnya, setiap simpul memiliki probabilitas yang sama untuk terbuka terhadap aliran air. Ketika probabilitasnya rendah, kemungkinan air memiliki jalur melalui batu itu rendah.

Tetapi saat Anda perlahan-lahan meningkatkan kemungkinannya, ada titik di mana cukup banyak simpul terbuka untuk membuat jalur pertama yang membentang di atas batu. Smirnov membuktikan bahwa pada ambang kritis, kisi segitiga adalah invarian konformal, yang berarti perkolasi terjadi terlepas dari bagaimana Anda mengubahnya dengan simetri konformal.

Lima tahun kemudian, pada Kongres Internasional Matematikawan 2006, Smirnov mengumumkan bahwa dia telah membuktikan invarian konformal lagi, kali ini dalam model Ising. Dikombinasikan dengan buktinya pada tahun 2001, karya inovatif ini membuatnya mendapatkan Fields Medal, penghargaan tertinggi matematika.

Pada tahun-tahun sejak itu, bukti lain telah mengalir berdasarkan kasus per kasus, menetapkan invarian konformal untuk model tertentu. Tidak ada yang mendekati membuktikan universalitas yang dibayangkan Polyakov.

“Bukti sebelumnya yang berhasil disesuaikan dengan model tertentu,” kata Federico Camia, fisikawan matematika di New York University Abu Dhabi. “Anda memiliki alat yang sangat spesifik untuk membuktikannya untuk model yang sangat spesifik.”

Smirnov sendiri mengakui bahwa kedua buktinya mengandalkan semacam “keajaiban” yang ada dalam dua model yang dia kerjakan tetapi biasanya tidak tersedia.

“Karena menggunakan sihir, itu hanya berfungsi dalam situasi di mana ada sihir, dan kami tidak dapat menemukan sihir di situasi lain,” katanya.

Pekerjaan baru adalah yang pertama mengganggu pola ini—membuktikan bahwa invarian rotasional, fitur inti invarian konformal, ada secara luas.

Satu per satu

Duminil-Copin pertama kali mulai berpikir untuk membuktikan invarian konformal universal di akhir tahun 2000-an, ketika dia menjadi mahasiswa pascasarjana Smirnov di Universitas Jenewa. Dia memiliki pemahaman unik tentang kecemerlangan teknik mentornya—dan juga keterbatasannya. Smirnov mengabaikan kebutuhan untuk membuktikan ketiga simetri secara terpisah dan malah menemukan rute langsung untuk menetapkan invarian konformal—seperti jalan pintas menuju puncak.

“Dia pemecah masalah yang luar biasa. Dia membuktikan invarian konformal dari dua model fisika statistik dengan menemukan pintu masuk di gunung besar ini, seperti jenis inti yang dia lalui,” kata Duminil-Copin.

Selama bertahun-tahun setelah lulus sekolah, Duminil-Copin bekerja membangun satu set bukti yang pada akhirnya memungkinkan dia untuk melampaui pekerjaan Smirnov. Pada saat dia dan rekan penulisnya mulai bekerja dengan sungguh-sungguh pada invarian konformal, mereka siap untuk mengambil pendekatan yang berbeda dari yang dimiliki Smirnov. Alih-alih mengambil risiko dengan sihir, mereka kembali ke hipotesis awal tentang invarians konformal yang dibuat oleh Polyakov dan fisikawan kemudian.

Hugo Duminil-Copin dari Institute of Advanced Scientific Studies dan University of Geneva dan rekan-rekannya mengambil pendekatan satu-simetri-pada-waktu untuk membuktikan universalitas invarian konformal.Foto: IHES/MC Vergne

Para fisikawan membutuhkan bukti dalam tiga langkah, satu untuk setiap simetri yang ada dalam invarian konformal: invarian translasi, rotasi, dan skala. Buktikan masing-masing secara terpisah, dan Anda mendapatkan invarians konformal sebagai konsekuensinya.

Dengan pemikiran ini, penulis berangkat untuk membuktikan invarian skala pertama, percaya bahwa invarian rotasi akan menjadi simetri yang paling sulit dan mengetahui bahwa invarian translasi cukup sederhana dan tidak memerlukan bukti sendiri. Dalam percobaan ini, mereka menyadari bahwa mereka dapat membuktikan keberadaan invarians rotasi pada titik kritis dalam berbagai macam model perkolasi pada kisi persegi dan persegi panjang.

Diposting oleh : joker123