Matematikawan Selesaikan Dugaan Mewarnai Erd


Di musim gugur tahun 1972, Vance Faber adalah profesor baru di Universitas Colorado. Ketika dua matematikawan berpengaruh, Paul Erdős dan László Lovász, datang berkunjung, Faber memutuskan untuk mengadakan pesta teh. Erds khususnya memiliki reputasi internasional sebagai peneliti yang eksentrik dan energik, dan rekan-rekan Faber sangat ingin bertemu dengannya.

“Saat kami berada di sana, seperti di banyak pesta teh lainnya, Erdős akan duduk di sudut, dikelilingi oleh penggemarnya,” kata Faber. “Dia akan melakukan diskusi serentak, seringkali dalam beberapa bahasa tentang hal-hal yang berbeda.”

Erdős, Faber, dan Lovász memfokuskan percakapan mereka pada hypergraphs, sebuah ide baru yang menjanjikan dalam teori grafik pada saat itu. Setelah beberapa perdebatan, mereka sampai pada satu pertanyaan, yang kemudian dikenal sebagai dugaan Erdős-Faber-Lovász. Ini menyangkut jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai tepi hypergraphs dalam batasan tertentu.

“Itu adalah hal yang paling sederhana yang bisa kami hasilkan,” kata Faber, sekarang seorang matematikawan di Institute for Defense Analyzes ‘Center for Computing Sciences. “Kami mengerjakannya sedikit selama pesta dan berkata, ‘Baiklah, kami akan menyelesaikannya besok.’ Itu tidak pernah terjadi. “

Masalahnya ternyata jauh lebih sulit dari yang diharapkan. Erd sering mengiklankannya sebagai salah satu dari tiga dugaan favoritnya, dan dia menawarkan hadiah untuk solusinya, yang meningkat menjadi $ 500 karena ahli matematika menyadari kesulitan tersebut. Masalah tersebut terkenal di kalangan teori grafik dan menarik banyak upaya untuk menyelesaikannya, tidak ada yang berhasil.

Tapi sekarang, hampir 50 tahun kemudian, tim yang terdiri dari lima ahli matematika akhirnya membuktikan bahwa renungan pesta teh itu benar. Dalam pracetak yang diposting pada bulan Januari, mereka membatasi jumlah warna yang mungkin diperlukan untuk menaungi tepi hipergraf tertentu sehingga tidak ada tepi yang tumpang tindih yang memiliki warna yang sama. Mereka membuktikan bahwa jumlah warna tidak pernah lebih besar dari jumlah simpul pada hipergraf.

Pendekatan ini melibatkan dengan hati-hati menyisihkan beberapa tepi grafik dan secara acak mewarnai yang lain, kombinasi gagasan yang telah digunakan para peneliti dalam beberapa tahun terakhir untuk menyelesaikan sejumlah masalah terbuka yang sudah lama ada. Itu tidak tersedia untuk Erdős, Faber dan Lovász ketika mereka memimpikan masalahnya. Tapi sekarang, menatap resolusinya, dua matematikawan yang masih hidup dari trio asli dapat menikmati inovasi matematika yang ditimbulkan oleh rasa ingin tahu mereka.

“Ini adalah karya yang indah,” kata Lovász, dari Universitas Eötvös Loránd. “Saya sangat senang melihat kemajuan ini.”

Warna Cukup

Saat Erdős, Faber, dan Lovász menyeruput teh dan berbicara tentang matematika, mereka memiliki struktur seperti grafik baru dalam pikiran mereka. Grafik biasa dibangun dari titik-titik, yang disebut simpul, dihubungkan oleh garis, yang disebut tepi. Setiap sisi menghubungkan tepat dua simpul. Tetapi hypergraphs yang dianggap Erdős, Faber dan Lovász tidak terlalu membatasi: Tepi-tepinya dapat melindungi sejumlah simpul.

Gagasan edge yang lebih luas ini membuat hypergraphs lebih fleksibel daripada hub-and-spoke sepupu mereka. Grafik standar hanya dapat mengekspresikan hubungan antara pasangan benda, seperti dua teman di jejaring sosial (di mana setiap orang diwakili oleh simpul). Tetapi untuk mengekspresikan hubungan antara lebih dari dua orang — seperti keanggotaan bersama dalam sebuah grup — setiap sisi perlu mencakup lebih dari dua orang, yang memungkinkan hypergraph.

Namun, keserbagunaan ini ada harganya: Lebih sulit untuk membuktikan karakteristik universal untuk hypergraph daripada untuk grafik biasa.

“Banyak keajaiban [of graph theory] hilang atau segalanya menjadi jauh lebih sulit ketika Anda beralih ke hypergraphs, ”kata Gil Kalai dari IDC Herzliya dan Hebrew University of Jerusalem.

Misalnya, masalah pewarnaan tepi menjadi lebih sulit dengan hypergraphs. Dalam skenario ini, tujuannya adalah untuk mewarnai semua tepi grafik (atau hipergraf) sehingga tidak ada dua sisi yang bertemu pada sebuah simpul memiliki warna yang sama. Jumlah warna minimum yang diperlukan untuk melakukan ini dikenal sebagai indeks kromatik grafik.

Dugaan Erdős-Faber-Lovász adalah pertanyaan mewarnai tentang jenis hipergraf tertentu di mana tepinya tumpang tindih minimal. Dalam struktur ini, yang dikenal sebagai hipergraf linier, tidak ada dua sisi yang boleh tumpang tindih pada lebih dari satu simpul. Dugaan tersebut memprediksi bahwa indeks kromatik dari hipergraf linier tidak pernah lebih dari jumlah simpulnya. Dengan kata lain, jika hipergraf linier memiliki sembilan simpul, tepinya dapat diwarnai dengan tidak lebih dari sembilan warna, terlepas dari cara Anda menggambarnya.

Diposting oleh : joker123