Seorang Matematikawan Menjawab Soal Catur Berusia 150 Tahun


Jika Anda memiliki beberapa set catur di rumah, cobalah latihan berikut: Atur delapan ratu di papan sehingga tidak ada yang saling menyerang. Jika Anda berhasil sekali, dapatkah Anda menemukan pengaturan kedua? Ketiga? Ada berapa banyak?

Tantangan ini berusia lebih dari 150 tahun. Ini adalah versi paling awal dari pertanyaan matematika yang disebut n-masalah ratu yang solusinya Michael Simkin, seorang rekan postdoctoral di Pusat Ilmu dan Aplikasi Matematika Universitas Harvard, memusatkan perhatian pada makalah yang diposting pada bulan Juli. Alih-alih menempatkan delapan ratu pada papan catur 8-kali-8 standar (di mana ada 92 konfigurasi berbeda yang berfungsi), masalahnya menanyakan berapa banyak cara untuk menempatkan n ratu di n-oleh-n papan. Ini bisa berupa 23 ratu di papan 23-kali-23—atau 1.000 di papan 1.000-kali-1.000, atau sejumlah ratu di papan dengan ukuran yang sesuai.

“Sangat mudah untuk menjelaskan kepada siapa pun,” kata rika Roldán, seorang rekan Marie Skłodowska-Curie di Universitas Teknik Munich dan Institut Teknologi Federal Swiss Lausanne.

Simkin membuktikan bahwa untuk papan catur besar dengan jumlah ratu yang banyak, ada kira-kira (0,143n)n konfigurasi. Jadi, di papan sejuta demi sejuta, jumlah cara untuk mengatur 1 juta ratu yang tidak mengancam adalah sekitar 1 diikuti oleh sekitar 5 juta nol.

Masalah asli pada papan catur 8-kali-8 pertama kali muncul di majalah catur Jerman pada tahun 1848. Pada tahun 1869, n-Ratu masalah telah mengikuti. Sejak itu, matematikawan telah menghasilkan hasil yang sedikit n-ratu. Meskipun peneliti sebelumnya telah menggunakan simulasi komputer untuk menebak hasil yang ditemukan Simkin, dia adalah orang pertama yang benar-benar membuktikannya.

“Dia pada dasarnya melakukan ini jauh lebih tajam daripada yang pernah dilakukan siapa pun sebelumnya,” kata Sean Eberhard, seorang rekan postdoctoral di University of Cambridge.

Salah satu hambatan untuk memecahkan nMasalah -queens adalah bahwa tidak ada cara yang jelas untuk menyederhanakannya. Bahkan di papan yang relatif kecil, jumlah susunan ratu yang potensial bisa sangat besar. Di papan yang lebih besar, jumlah komputasi yang terlibat sangat mengejutkan. Dalam situasi ini, matematikawan sering berharap untuk menemukan beberapa pola, atau struktur yang mendasari, yang memungkinkan mereka memecah perhitungan menjadi bagian-bagian yang lebih kecil yang lebih mudah untuk ditangani. Tetapi nMasalah -queens sepertinya tidak ada.

“Salah satu hal yang menonjol dari masalah ini adalah, setidaknya tanpa berpikir keras tentangnya, sepertinya tidak ada struktur apapun,” kata Eberhard.

Ini berasal dari fakta bahwa tidak semua ruang di papan dibuat sama.

Untuk mengetahui alasannya, sekali lagi bayangkan membuat konfigurasi delapan ratu Anda sendiri. Jika Anda menempatkan ratu pertama Anda di dekat tengah, ia akan dapat menyerang ruang mana pun di barisnya, di kolomnya, atau di sepanjang dua diagonal papan terpanjang. Itu membuat 27 ruang terlarang untuk ratu Anda berikutnya. Tetapi jika Anda menempatkan ratu pertama Anda di sepanjang sisi papan, itu hanya mengancam 21 ruang, karena diagonal yang relevan lebih pendek. Dengan kata lain, kotak tengah dan samping berbeda—dan akibatnya, papan tidak memiliki struktur simetris yang mungkin membuat masalahnya lebih sederhana.

Kurangnya struktur inilah sebabnya, ketika Simkin mengunjungi matematikawan Zur Luria di Institut Teknologi Federal Swiss Zurich untuk berkolaborasi dalam masalah empat tahun lalu, mereka awalnya menangani “toroidal” yang lebih simetris. n-masalah ratu. Dalam versi modifikasi ini, papan catur “membungkus” sekelilingnya di tepinya seperti torus: Jika Anda jatuh ke kanan, Anda muncul kembali di kiri.

Masalah toroidal tampak lebih sederhana karena simetrinya. Tidak seperti di papan klasik, semua diagonal memiliki panjang yang sama, dan setiap ratu dapat menyerang dengan jumlah ruang yang sama: 27.

Simkin dan Luria mencoba membangun konfigurasi di papan toroidal menggunakan resep dua bagian. Pada setiap langkah, mereka menempatkan seorang ratu secara acak, memilih ruang mana pun dengan kemungkinan yang sama selama itu tersedia. Mereka kemudian memblokir semua ruang yang bisa diserang. Dengan melacak berapa banyak opsi yang mereka miliki di setiap langkah, mereka berharap dapat menghitung batas bawah—minimum absolut untuk jumlah konfigurasi. Strategi mereka disebut algoritma serakah acak, dan telah digunakan untuk memecahkan banyak masalah lain di bidang kombinatorik.

Diposting oleh : joker123