Tur Terpandu Ahli Matematika Melalui Dimensi yang Lebih Tinggi


Atau, sama seperti kita dapat membuka permukaan kubus menjadi enam kotak, kita dapat membuka batas tiga dimensi tesseract untuk mendapatkan delapan kubus, seperti yang dipamerkan Salvador Dalí dalam lukisannya tahun 1954. Penyaliban (Corpus Hypercubus).

Kita dapat membayangkan sebuah kubus dengan membuka lipatan wajahnya. Demikian juga, kita dapat mulai membayangkan sebuah tesseract dengan membuka kubus batasnya.

Ini semua menambah pemahaman intuitif bahwa ruang abstrak adalah n-dimensi jika ada n derajat kebebasan di dalamnya (seperti yang dimiliki burung-burung itu), atau jika diperlukan n koordinat untuk menggambarkan lokasi suatu titik. Namun, seperti yang akan kita lihat, ahli matematika menemukan bahwa dimensi lebih kompleks daripada yang disiratkan oleh deskripsi sederhana ini.

Studi formal tentang dimensi yang lebih tinggi muncul pada abad ke-19 dan menjadi cukup canggih dalam beberapa dekade: Sebuah bibliografi 1911 berisi 1.832 referensi ke geometri n ukuran. Mungkin sebagai akibatnya, pada akhir abad 19 dan awal abad 20, publik menjadi tergila-gila dengan dimensi keempat. Pada tahun 1884, Edwin Abbott menulis novel satir populer Tanah Datar, yang menggunakan analogi makhluk dua dimensi yang menghadapi karakter dari dimensi ketiga untuk membantu pembaca memahami dimensi keempat. 1909 Amerika ilmiah lomba esai berjudul “Apa Itu Dimensi Keempat?” menerima 245 kiriman yang bersaing untuk mendapatkan hadiah $500. Dan banyak seniman, seperti Pablo Picasso dan Marcel Duchamp, memasukkan gagasan dimensi keempat ke dalam karya mereka.

Tetapi selama ini, matematikawan menyadari bahwa kurangnya definisi formal untuk dimensi sebenarnya menjadi masalah.

Georg Cantor terkenal karena penemuannya bahwa ketidakterbatasan datang dalam berbagai ukuran, atau kardinalitas. Pada mulanya Cantor percaya bahwa himpunan titik-titik pada ruas garis, bujur sangkar, dan kubus pasti memiliki kardinalitas yang berbeda, seperti halnya garis yang terdiri dari 10 titik, kisi titik 10 × 10 dan kubus titik 10 × 10 × 10 memiliki jumlah titik yang berbeda. Namun, pada tahun 1877 ia menemukan korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam segmen garis dan titik-titik dalam bujur sangkar (dan juga kubus dari semua dimensi), menunjukkan bahwa mereka memiliki kardinalitas yang sama. Secara intuitif, ia membuktikan bahwa garis, kotak, dan kubus semuanya memiliki jumlah titik yang sangat kecil yang sama, meskipun dimensinya berbeda. Cantor menulis kepada Richard Dedekind, “Saya melihatnya, tetapi saya tidak mempercayainya.”

Cantor menyadari penemuan ini mengancam gagasan intuitif bahwa n-ruang dimensi membutuhkan n koordinat, karena setiap titik dalam nkubus -dimensi dapat diidentifikasi secara unik dengan satu angka dari suatu interval, sehingga, dalam arti tertentu, kubus berdimensi tinggi ini setara dengan segmen garis satu dimensi. Namun, seperti yang ditunjukkan Dedekind, fungsi Cantor sangat terputus-putus—pada dasarnya ia memecah segmen garis menjadi banyak bagian yang tak terhingga dan menyusunnya kembali untuk membentuk kubus. Ini bukanlah perilaku yang kita inginkan untuk sistem koordinat; akan terlalu tidak teratur untuk membantu, seperti memberikan alamat unik pada gedung-gedung di Manhattan tetapi menugaskannya secara acak.

Diposting oleh : joker123